בגרות 582 קיץ 2021 מועד ב׳ – פרבולה ומעגלהנדסה אנליטית 572 · שיעור 103
בגרות 582 · קיץ 2021 מועד ב׳ · שאלה 1
שיעור 103 – בגרות 582 קיץ 2021 מועד ב׳ – פרבולה ומעגל
פרק 10 – פתרון בגרויות 582
1נוסח השאלה
2סעיף א – נקודות החיתוך
3סעיף ב – הישר
4סעיף ג (1) – מרכז ורדיוס
5סעיף ג (2) – הערך של a
6סעיף ד – מקום גאומטרי
📄 נוסח השאלה
לפניכם משוואת הפרבולה: y2 = 2ax ומשוואת המעגל: x2 + y2 − 2ax − 2x = 0 . a הוא פרמטר גדול מ־0.
א. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של הפרבולה והמעגל. הביעו באמצעות a , אם יש צורך.
דרך שתיים מנקודות החיתוך של הפרבולה והמעגל עובר ישר ששיפועו חיובי.
ב. מצאו את משוואת הישר. הביעו באמצעות a , אם יש צורך.
📄 נוסח השאלה · המשך
ממרכז המעגל מעבירים אנך לישר. אורך האנך הוא 2√5 .
ג. (1) הביעו באמצעות a את מרכז המעגל ואת הרדיוס שלו. (2) מצאו את a .
מגדירים מעגל חדש שמרכזו זהה למרכז המעגל הנתון והרדיוס שלו קטן ב־2 מרדיוס המעגל הנתון.
ד. מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות שאורך המשיק מהן למעגל החדש שווה למרחק שלהן מן הישר x = −4 .
סעיף א – נקודות החיתוך
מהפרבולה y2 = 2ax . נכתוב את משוואת המעגל ונסמן את y2 :
x2 + y2 − 2ax − 2x = 0
נציב y2 = 2ax :
x2 + 2ax − 2ax − 2x = 0
x2 − 2x = 0
x(x − 2) = 0 ⇒ x = 0 , x = 2
סעיף א – נקודות החיתוך · המשך
x(x − 2) = 0 ⇒ x = 0 , x = 2
נמצא את y מהפרבולה y2 = 2ax :
x = 0 : y2 = 0 ⇒ y = 0
x = 2 : y2 = 4a ⇒ y = ±2√a
✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (2 , 2√a) , (2 , −2√a)
סעיף ב – הישר
בין הנקודות (2 , 2√a) ו־(2 , −2√a) עובר ישר אנכי (בלי שיפוע). הישר דרך (0 , 0) ו־(2 , −2√a) יורד – שיפועו שלילי. לכן הישר עובר דרך (0 , 0) ו־(2 , 2√a) :
m = 2√a − 02 − 0 = √a
📐 שיפוע ישר לפי שתי נקודות
הישר עובר בראשית:
y = √a x
✅ פתרון סופי: y = √a x
📐 שיפוע ישר לפי שתי נקודות
m = y2 − y1x2 − x1
סעיף ג (1) – מרכז ורדיוס
נסדר את משוואת המעגל ונשלים לריבוע:
x2 − 2(a + 1)x + y2 = 0
(x − a − 1)2 − (a + 1)2 + y2 = 0
📐 השלמה לריבוע
(x − a − 1)2 + y2 = (a + 1)2
📐 משוואת מעגל
✅ פתרון סופי: מרכז (a + 1 , 0) , רדיוס R = a + 1
📐 השלמה לריבוע
x2 − 2kx = (x − k)2 − k2
📐 משוואת מעגל
(x − a)2 + (y − b)2 = R2
מרכז (a , b) , רדיוס R
מרכז (a , b) , רדיוס R
סעיף ג (2) – הערך של a
הישר בצורה Ax + By + C = 0 : √ax − y = 0 . נכתוב את נוסחת המרחק ונסמן את מה שנציב:
d = |√a · x0 − y0|√(√a)2 + (−1)2
📐 מרחק נקודה מישר
נציב את המרכז (a + 1 , 0) :
d = √a(a + 1)√a + 1
אין צורך בערך מוחלט, כי a > 0 . מצמצמים:
a + 1√a + 1 = √a + 1
📐 מרחק נקודה מישר
d = |Ax0 + By0 + C|√A2 + B2
סעיף ג (2) – הערך של a · המשך
a + 1√a + 1 = √a + 1
d = √a · √a + 1 = √a(a + 1)
אורך האנך נתון:
√a(a + 1) = 2√5
מעלים בריבוע:
a2 + a = 20
סעיף ג (2) – הערך של a · המשך
a2 + a = 20
a2 + a − 20 = 0
(a + 5)(a − 4) = 0
a = 4 , a = −5
a = −5 נפסל, כי a > 0 .
בסקיצה (a = 4): הפרבולה y2 = 8x בכחול, המעגל בסגול, הישר y = 2x בירוק והאנך באפור.
סעיף ג (2) – הערך של a · המשך
בסקיצה (a = 4): הפרבולה y2 = 8x בכחול, המעגל בסגול, הישר y = 2x בירוק והאנך באפור.
✅ פתרון סופי: a = 4
סעיף ד – מקום גאומטרי
עם a = 4 : מרכז המעגל (5 , 0) והרדיוס 5. למעגל החדש אותו מרכז ורדיוס 5 − 2 = 3 :
(x − 5)2 + y2 = 9
📐 משוואת מעגל
נסמן נקודה P(x , y) מחוץ למעגל. המשיק מ־P מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, ולכן לפי פיתגורס (המרחק PM הוא היתר):
PM2 = R2 + t2
📐 משפט פיתגורס
t2 = (x − 5)2 + y2 − 9
📐 משוואת מעגל
(x − a)2 + (y − b)2 = R2
מרכז (a , b) , רדיוס R
מרכז (a , b) , רדיוס R
📐 משפט פיתגורס
a2 + b2 = c2
סעיף ד – מקום גאומטרי · המשך
t2 = (x − 5)2 + y2 − 9
המרחק של P מהישר x = −4 הוא |x + 4| . התנאי: t = |x + 4| . מעלים בריבוע:
(x − 5)2 + y2 − 9 = (x + 4)2
x2 − 10x + 25 + y2 − 9
= x2 + 8x + 16
y2 − 18x = 0
סעיף ד – מקום גאומטרי · המשך
y2 − 18x = 0
y2 = 18x
קיבלנו פרבולה. כל הנקודות שלה מחוץ למעגל החדש: על הפרבולה x ≥ 0 , ולכן:
(x − 5)2 + 18x = x2 + 8x + 25 > 9
בסקיצה: המעגל החדש בסגול, הישר x = −4 באפור והמקום הגאומטרי בירוק.
✅ פתרון סופי: y2 = 18x
📌 סיכום התשובות
סעיף א
(0 , 0) , (2 , ±2√a)
סעיף ב
y = √a x
סעיף ג (1)
(a + 1 , 0) , R = a + 1
סעיף ג (2)
a = 4
סעיף ד
y2 = 18x
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא